การคาดคะเนของเคปเลอร์
จิตใจที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในประวัติศาสตร์ช่วยแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ที่เก่าที่สุดในโลกได้อย่างไร
George G. Szpiro
Wiley: 2003. 304 หน้า. 18.50 ปอนด์, 24.95 ดอลลาร์, 24.95 ยูโร
เว็บสล็อต ปัญหาการบรรจุทรงกลมแบบคลาสสิกคือการพิจารณาว่าทรงกลมที่เหมือนกันจำนวนมาก (เช่น ตลับลูกปืน) รวมกันหนาแน่นได้อย่างไรในพื้นที่จำกัด ในปี ค.ศ. 1611 โยฮันเนส เคปเลอร์ นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันกล่าวว่าไม่มีบรรจุภัณฑ์ใดที่จะหนาแน่นไปกว่าการจัดวางตาข่ายแบบลูกบาศก์ที่อยู่ตรงกลางใบหน้า (fcc) ที่คนขายของชำชื่นชอบในการเรียงส้ม ซึ่งเติมได้ประมาณ 0.7405 ของพื้นที่ว่างที่มีอยู่ นักคณิตศาสตร์ต้องใช้เวลา 400 ปีในการพิสูจน์ว่าเขาถูก
การคาดเดาของ Keplerให้เรื่องราวที่น่าสนุกและอ่านได้เกี่ยวกับประวัติของปัญหาและความพยายามที่จะแก้ปัญหา ซึ่งจบลงด้วยข้อพิสูจน์ที่ประสบความสำเร็จของ Thomas Hales ซึ่งประกาศในปี 1998 George Szpiro ยังอภิปรายหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ต่อพ่วงจำนวนมาก รวมถึงรายการของ David Hilbert ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังไม่แก้ 23 ข้อจากปี 1900 (การคาดเดาของเคปเลอร์เป็นส่วนหนึ่งของปัญหาที่ 18) ปัญหาการจูบ (จำนวนลูกบอลที่สามารถสัมผัสลูกบอลขนาดเดียวกันได้อีกกี่ลูก) การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น และปัญหาฟิล์มสบู่ของลอร์ดเคลวิน
หนังสือเล่มนี้เป็นการผสมผสานระหว่างคณิตศาสตร์ ประวัติศาสตร์ และเกร็ดเล็กเกร็ดน้อย ในการวิจัยของเขา ผู้เขียนได้พบเรื่องราวดีๆ มากมายให้เล่าขาน แม้แต่คนที่คุ้นเคยกับหัวข้อนี้ก็ยังพบเกร็ดเล็กเกร็ดน้อยใหม่ๆ ที่นี่ และดูเหมือนว่าส่วนใหญ่จะเป็นความจริงไม่มากก็น้อย ถึงแม้ว่าบางคนอาจจะเล่นลิ้นถึงรายละเอียดก็ตาม พ่อของ John Conway สอนวิชาเคมีให้กับวง The Beatles สองคนจริงๆ เหรอ? ประเภทของ
น้ำเสียงของคำพูดนั้นบางครั้งก็ดูถูก ซึ่งผู้อ่านบางคนอาจมองว่าไม่เหมาะสมมากกว่าที่จะตลก คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ วัยหนุ่มถูกอธิบายว่าเป็น “เจ้าหนูตัวน้อย” ‘แรงเลอร์’ คือ “หนึ่งในสัญลักษณ์แสดงความนับถือแบบริบบิ้นสีน้ำเงินที่ลึกลับ… สงวนไว้สำหรับผู้ที่ประสบความสำเร็จในอังกฤษ” และทฤษฎีมัดเป็น “ความเบื่อหน่ายหลัก” และหลังจากการอภิปรายค่อนข้างรุนแรงเกี่ยวกับความพยายามของนักธรณีวิทยาชาวฮังการีผู้ยิ่งใหญ่ László Fejes Tóth (ชื่อของเขามีการสะกดผิดอย่างสม่ำเสมอในหนังสือ) เพื่อพิสูจน์การคาดเดาสิบสองหน้า Szpiro
เขียนว่า: “อาจมีคนออกมาจากบทนี้ด้วยความประทับใจที่ Fejes- Tóth เป็นนักฝันที่ผิดพลาดซึ่งงานส่วนใหญ่ประกอบด้วยสัญญาที่ไม่สำเร็จและสมมติฐานที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ นี่ไม่ได้แสดงถึงภาพรวมทั้งหมด” ไม่แน่นอน
เนื้อหาทางคณิตศาสตร์น่าพอใจน้อยกว่าส่วนประวัติศาสตร์ ตามที่วิลเลียม บาร์โลว์บรรยายไว้ในNatureในปี 1883 ( 29, 186–188) การบรรจุ fcc สามารถสร้างขึ้นได้ทีละชั้น วางชั้นของทรงกลมที่จัดเรียงเป็นโครงตาข่ายสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นแบบที่ใช้สำหรับวางลูกบิลเลียด แล้ววางอีกชั้นหนึ่งไว้ด้านบน แล้วทำซ้ำ มีสองวิธีในการวางเลเยอร์ที่ตามมา เมื่อมองจากด้านบน มีตำแหน่งที่แตกต่างกันสามตำแหน่งสำหรับจุดศูนย์กลางของทรงกลมในชั้นใดชั้นหนึ่ง เช่น A, B และ C หากชั้นเป็นไปตามลำดับ A, B, C, A, B, C, … แล้ว ได้รับการบรรจุ fcc หากเป็นไปตามลำดับ A, B, A, B, A, B, … ก็จะได้บรรจุภัณฑ์ที่มีความหนาแน่นเท่ากันซึ่งเรียกว่าการบรรจุแบบปิดหกเหลี่ยม (hcp)
การคาดเดาของ Kepler
คือไม่มีบรรจุภัณฑ์ใดที่มีความหนาแน่นมากกว่า fcc หรือ hcp package (หรือจำนวนอนันต์ของบรรจุภัณฑ์ต่างๆ การบรรจุ fcc และ hcp มีความหนาแน่นเท่ากัน แต่ต่างกัน: อันหนึ่งเป็นตาข่าย อีกอันหนึ่งไม่ใช่ Spiro อ้างว่า fcc และ hcp เป็น “บรรจุภัณฑ์ที่เหมือนกันทุกประการเมื่อมองจากมุมที่ต่างกัน” พวกเขาจะไม่.
สิ่งที่ทำให้ไขว้เขวในการอภิปรายทางคณิตศาสตร์อีกประการหนึ่ง (ซึ่งโชคดีที่มีรูปแบบตัวอักษรที่แตกต่างกัน ดังนั้นพวกเขาจึงสามารถและควรข้ามได้โดยผู้อ่านทั่วไป) คือการใช้คำว่า ‘พื้นผิว’ ในทางที่ผิดของผู้เขียน หลายครั้งที่เขาเขียนถึงพื้นผิวของวัตถุ เมื่อเขาหมายถึงพื้นที่ของมัน หรือแม้แต่ปริมาตรของมัน
หนึ่งในทฤษฎีบทที่เก่าแก่ที่สุดเกี่ยวกับการบรรจุทรงกลมได้รับการพิสูจน์โดย Gauss ในปี ค.ศ. 1831 เมื่อเขาแสดงให้เห็นว่า fcc เป็นทรงกลมตาข่ายที่หนาแน่นที่สุด สปิโรพยายามที่จะทำซ้ำข้อพิสูจน์ของเกาส์ แต่กลับทำให้มันยุ่งเหยิง ตัวอย่างเช่น ในหน้า 255 ดีเท อร์มีแนนต์จะต้องถูกลบล้าง และแสดงด้วยสัญลักษณ์ใหม่ Δ กล่าว จากนั้นหกครั้งของตัวอักษรDในหน้านั้นจะต้องเปลี่ยนเป็น Δ จำเป็นต้องซ่อมแซมที่คล้ายกันในหน้าถัดไป
หนังสือเล่มนี้ไม่ได้กล่าวถึงเหตุผลหลักประการใดประการหนึ่งในการศึกษาการบรรจุทรงกลม: การประยุกต์ใช้กับการสื่อสารดิจิทัล จากมุมมองของนักทฤษฎีการสื่อสาร ผลลัพธ์ของเฮลส์เกี่ยวกับการบรรจุทรงกลมสามมิติเป็นเพียงจุดเริ่มต้นของเรื่องราว หนึ่งในคำถามพื้นฐานในทฤษฎีการสื่อสารคือการกำหนดความหนาแน่นของลูกบอลที่เท่ากันในพื้นที่หลายมิติ วิธีทางเรขาคณิตในการแสดงสัญญาณ ซึ่งเป็นหัวใจของทฤษฎีการสื่อสารทางคณิตศาสตร์ของคลอดด์ แชนนอน หนุนโมเด็มความเร็วสูงที่เรามองข้ามไป
Szpiro กล่าวถึงหัวข้อนี้เพียงสั้น ๆ ในบทสุดท้าย แต่การอภิปรายก็ผิดพลาดด้วยข้อผิดพลาดอื่น เขาอธิบายปัญหาต่อไปนี้ว่าเป็นแอปพลิเคชันที่ดึงข้อมูลมาไกลของปัญหาการบรรจุ (จริงๆ แล้วเป็นปัญหาประเภทมาตรฐานในรหัสการแก้ไขข้อผิดพลาด) ปัญหาคือการค้นหาสตริงทศนิยมสิบหลักให้ได้มากที่สุด โดยอยู่ภายใต้ข้อจำกัดว่าสตริงสองสตริงใดๆ จะต้องแตกต่างกันอย่างน้อยสองหน่วยในแต่ละตำแหน่ง เขาใช้ขอบเขตที่ทราบเกี่ยวกับความหนาแน่นของทรงกลมที่บรรจุอยู่ในพื้นที่สิบมิติในทางที่ผิดเพื่อสรุปว่า “สามารถแสดงสัญญาณอย่างน้อย 400,000,000 ตัว ซึ่งเพียงพอสำหรับคำทุกคำในทุกภาษาของโลก” อย่างไรก็ตาม คำตอบที่ถูกต้องไม่ใช่ 400,000,000 แต่เป็น 5 เว็บสล็อต
